Solucionar ecuaciones lineales | Ejemplo 3

Solución de Ecuaciones con Signos de Agrupación: Ejemplo y Ejercicio

Key Concepts:

• Signos de agrupación (paréntesis)
• Multiplicación de signos
• Transposición de términos
• Simplificación de ecuaciones
• Multiplicación por -1 (para eliminar el signo negativo de la variable)

Eliminación de Signos de Agrupación

Cuando una ecuación contiene signos de agrupación (paréntesis), el primer paso es eliminarlos. Esto se hace multiplicando el signo que precede al paréntesis por cada uno de los términos dentro del paréntesis.

• Reglas de multiplicación de signos:
  • (+) * (+) = +
  • (-) * (-) = +
  • (+) * (-) = -
  • (-) * (+) = -
  • En resumen: Signos iguales dan positivo, signos diferentes dan negativo.

Ejemplo:

Resolver la ecuación: 2x - (5x + 3) = 7 + (3x - 2)

1. Eliminar paréntesis:
   • 2x - 5x - 3 = 7 + 3x - 2 (Se multiplicaron los signos correctamente)

Transposición de Términos

Después de eliminar los paréntesis, se deben agrupar los términos con la variable (x) en un lado de la ecuación y los términos constantes en el otro lado. Generalmente, se pasan las "x" a la izquierda y los números a la derecha, pero el orden no afecta el resultado final.

• Regla: Al pasar un término de un lado al otro del signo igual (=), se debe cambiar su signo.

Ejemplo (continuación):

1. Agrupar términos:
   • Original: 2x - 5x - 3 = 7 + 3x - 2
   • Transponiendo: 2x - 5x - 3x = 7 - 2 + 3 (El -3x pasó restando y el -3 pasó sumando)

Simplificación y Resolución

Una vez agrupados los términos, se simplifica cada lado de la ecuación realizando las operaciones aritméticas correspondientes.

Ejemplo (continuación):

1. Simplificar:
   • -6x = 8 (Se sumaron los términos con "x" y los términos constantes)

Eliminación del Signo Negativo en la Variable

Si el coeficiente de la variable (el número que la multiplica) es negativo, se recomienda multiplicar toda la ecuación por -1 para cambiar el signo. Esto evita errores comunes al dividir con números negativos.

• Multiplicación por -1: Cambia el signo de todos los términos de la ecuación.

Ejemplo (continuación):

1. Multiplicar por -1 (opcional, pero recomendado):
   • -6x = 8
   • 6x = -8 (Se multiplicó toda la ecuación por -1)

Despeje de la Variable

Finalmente, se despeja la variable dividiendo ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la variable.

Ejemplo (continuación):

1. Despejar "x":
   • 6x = -8
   • x = -8 / 6

Simplificación de la Solución

Si es posible, se simplifica la fracción resultante.

Ejemplo (continuación):

1. Simplificar la fracción:
   • x = -8 / 6
   • x = -4 / 3 (Se dividió el numerador y el denominador por 2)

Resultado Final: x = -4/3

Ejercicio de Práctica

Resolver la ecuación: 5 - (3x - 2) = 4 - (x + 3)

Solución:

1. Eliminar paréntesis: 5 - 3x + 2 = 4 - x - 3
2. Agrupar términos: -3x + x = 4 - 3 - 5 - 2
3. Simplificar: -2x = -6
4. Multiplicar por -1: 2x = 6
5. Despejar "x": x = 6 / 2
6. Simplificar: x = 3

Conclusión

La solución de ecuaciones con signos de agrupación implica eliminar los paréntesis multiplicando los signos, transponer términos, simplificar, y finalmente despejar la variable. Multiplicar por -1 cuando la variable es negativa ayuda a evitar errores. El orden de los pasos es importante para llegar a la solución correcta.