Solucionar ecuaciones lineales | Ejemplo 4

Solución de Ecuaciones con Paréntesis: Resumen Detallado

Key Concepts:

• Eliminación de paréntesis mediante multiplicación.
• Transposición de términos en una ecuación.
• Simplificación de expresiones algebraicas.
• Resolución de ecuaciones lineales.
• Multiplicación por -1 para eliminar signos negativos en la variable.

1. Eliminación de Paréntesis

• Regla fundamental: Para eliminar paréntesis, se observa el elemento (número o signo) a la izquierda del paréntesis.
• Caso con número: Si hay un número a la izquierda, se multiplica ese número por cada término dentro del paréntesis, respetando las reglas de los signos.
  • Ejemplo: 5(3x - 2) se convierte en 15x - 10.
  • Ejemplo: -7(-5x + 4) se convierte en 35x - 28.
• Importante: El signo del número debe incluirse en la multiplicación.

2. Transposición de Términos

• Objetivo: Agrupar términos con la variable (x) en un lado de la ecuación y los términos constantes en el otro lado.
• Proceso:
  1. Identificar los términos que deben ser movidos.
  2. Al pasar un término de un lado al otro del signo igual (=), se cambia su signo.
     • Si es positivo (+), pasa a negativo (-).
     • Si es negativo (-), pasa a positivo (+).
  • Ejemplo: En la ecuación 15x - 10 = 35x - 28, para pasar 35x al lado izquierdo, se convierte en -35x. Para pasar -10 al lado derecho, se convierte en +10.
• Resultado: La ecuación se transforma en 15x - 35x = -28 + 10.

3. Simplificación y Operaciones

• Términos semejantes: Después de la transposición, se combinan los términos semejantes en cada lado de la ecuación.
  • Ejemplo: 15x - 35x se simplifica a -20x.
  • Ejemplo: -28 + 10 se simplifica a -18.
• Resultado: La ecuación se reduce a una forma más simple, como -20x = -18.

4. Eliminación de Signo Negativo en la Variable

• Condición: Si el coeficiente de la variable (el número que multiplica a la x) es negativo, se multiplica toda la ecuación por -1.
• Propósito: Cambiar el signo de todos los términos en la ecuación.
  • Ejemplo: -20x = -18 se convierte en 20x = 18.

5. Despeje de la Variable

• Proceso: Dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la variable.
  • Ejemplo: En 20x = 18, se divide ambos lados por 20, resultando en x = 18/20.

6. Simplificación de la Fracción

• Objetivo: Reducir la fracción resultante a su forma más simple.
• Método: Encontrar un factor común para el numerador y el denominador y dividir ambos por ese factor.
  • Ejemplo: 18/20 se simplifica a 9/10 (dividiendo ambos por 2).

7. Ejemplo Resuelto

• Ecuación: 5(3x - 2) = -7(-5x + 4)
• Pasos:
  1. Eliminar paréntesis: 15x - 10 = 35x - 28
  2. Transponer términos: 15x - 35x = -28 + 10
  3. Simplificar: -20x = -18
  4. Multiplicar por -1: 20x = 18
  5. Despejar x: x = 18/20
  6. Simplificar: x = 9/10

8. Ejercicio de Práctica y Solución

• Ecuación: -3(-4x + 5) = 2(3 + 9) + 6x
• Solución:
  1. Eliminar paréntesis: 12x - 15 = 6 + 18 + 6x
  2. Transponer términos: 12x - 6x = 24 + 15
  3. Simplificar: 6x = 39
  4. Despejar x: x = 39/6
  5. Simplificar: x = 13/2

9. Conclusión

La solución de ecuaciones con paréntesis implica la aplicación sistemática de reglas algebraicas para eliminar paréntesis, transponer términos, simplificar expresiones y despejar la variable. La clave es seguir los pasos de manera ordenada y prestar atención a los signos.