Sistema de ecuaciones lineales 2x2, el problema de las monedas | Planteamiento de ecuaciones 10

Resolución de Problema con Sistema de Ecuaciones Lineales 2x2

Key Concepts:

• Sistema de ecuaciones lineales 2x2
• Incógnitas (x, y)
• Método de reducción o eliminación
• Propiedad de la igualdad
• Despeje de variables
• Comprobación de resultados

Planteamiento del Problema

El problema consiste en determinar cuántas monedas de 2 pesos (x) y cuántas de 5 pesos (y) tiene un hombre en su bolsillo, sabiendo que tiene un total de 39 monedas y un total de 126 pesos.

Definición de Incógnitas

• x: Número de monedas de 2 pesos.
• y: Número de monedas de 5 pesos.

Establecimiento del Sistema de Ecuaciones

Se establecen dos ecuaciones lineales basadas en la información proporcionada:

1. Ecuación 1 (Cantidad de monedas): x + y = 39
2. Ecuación 2 (Valor total): 2x + 5y = 126

Método de Reducción o Eliminación

Se elige el método de reducción o eliminación para resolver el sistema de ecuaciones. El objetivo es eliminar una de las incógnitas (en este caso, x) para encontrar el valor de la otra (y).

Pasos:

1. Multiplicación de la Ecuación 1 por -2: Se multiplica cada término de la primera ecuación por -2 para que el coeficiente de x sea el opuesto al de la segunda ecuación.
   • -2(x + y) = -2(39)
   • -2x - 2y = -78
2. Suma de las Ecuaciones Modificada y la Ecuación 2: Se suman las ecuaciones resultantes para eliminar la incógnita x.
   • (-2x - 2y = -78) + (2x + 5y = 126)
   • 3y = 48
3. Despeje de y: Se despeja la incógnita y dividiendo ambos lados de la ecuación por 3.
   • y = 48 / 3
   • y = 16

Cálculo del Valor de x

Una vez obtenido el valor de y (16), se sustituye este valor en cualquiera de las ecuaciones originales para encontrar el valor de x. Se elige la primera ecuación (x + y = 39) por ser más sencilla.

Pasos:

1. Despeje de x: Se despeja la incógnita x en la primera ecuación.
   • x = 39 - y
2. Sustitución del Valor de y: Se sustituye el valor de y (16) en la ecuación despejada.
   • x = 39 - 16
   • x = 23

Comprobación de Resultados

Es fundamental comprobar que los valores obtenidos para x (23) e y (16) satisfacen ambas ecuaciones originales.

Comprobación en la Ecuación 1:

• x + y = 39
• 23 + 16 = 39 (Cumple)

Comprobación en la Ecuación 2:

• 2x + 5y = 126
• 2(23) + 5(16) = 126
• 46 + 80 = 126 (Cumple)

Respuesta

Dado que los valores de x e y satisfacen ambas ecuaciones, la solución es correcta.

• Hay 23 monedas de 2 pesos.
• Hay 16 monedas de 5 pesos.

Conclusión

El problema se resolvió exitosamente utilizando un sistema de ecuaciones lineales 2x2 y el método de reducción o eliminación. Se enfatiza la importancia de la comprobación para asegurar la validez de los resultados. Se invita a los espectadores a compartir otros métodos de resolución en los comentarios.