Razones y proporciones | Introducción

Resumen del Video: Razones, Proporciones y Regla de Tres (Parte 1)

Key Concepts:

• Magnitud: Propiedad que se puede expresar y medir mediante un número (ej: velocidad, tiempo, masa, distancia, temperatura, precio, partidos ganados).
• Razón: Comparación entre dos magnitudes, o el cociente entre dos números o cantidades comparables entre sí. Se expresa como a/b o a:b.
• Antecedente: El número de arriba en una razón (numerador).
• Consecuente: El número de abajo en una razón (denominador).
• Proporción: Igualdad entre dos razones (a/b = c/d).
• Constante de Proporcionalidad (k): El valor constante que resulta al dividir magnitudes directamente proporcionales (a/b = k).
• Teorema Fundamental de las Proporciones: En una proporción (a/b = c/d), se cumple que ad = bc.

1. Magnitudes Proporcionales y Razones

• Definición de Magnitud: Se define magnitud como toda propiedad que puede ser medida y expresada numéricamente. Se dan ejemplos como velocidad (km/h), tiempo (minutos, horas), masa (kg), distancia (metros, cuadras), temperatura (°C, °F), precio ($), y partidos ganados.
• Definición de Razón: Una razón es la comparación entre dos magnitudes. También se define como el cociente entre dos números o cantidades comparables.
• Ejemplos de Razones:
  • Una empresa produce 600 pantalones en 8 horas. La razón es 600/8 (pantalones/hora).
  • Una receta usa 50 gramos de harina por cada 500 ml de agua. La razón es 50/500 (gramos/ml).
  • Un día tiene 24 horas. La razón puede ser 1/24 (días/horas) o 24/1 (horas/día). Se enfatiza que el orden es importante para la interpretación.
• Terminología: Se introduce la terminología de "antecedente" (numerador) y "consecuente" (denominador) en una razón. Se explica que a/b es equivalente a a:b, y se lee "a es a b".
• Diferencia entre Razón y Fracción: Se aclara que, aunque una razón puede parecer una fracción, en las razones los números (antecedente y consecuente) no necesariamente tienen que ser enteros, pueden ser decimales.

2. Proporciones

• Definición de Proporción: Una proporción es la igualdad entre dos razones.
• Ejemplo de Proporción: Si 20/4 = 10/2 (ambas dan 5), entonces se tiene una proporción.
• Lectura de Proporciones: Se explica cómo leer una proporción: a/b = c/d se lee "a es a b como c es a d".

3. Ley de Proporcionalidad Directa

• Concepto: Si a y b son los valores de dos magnitudes directamente proporcionales, entonces a/b = k (constante). Esto implica que a = k * b.
• Ejemplo: En un almacén, cada caja contiene 4 balones.
  • 1 caja -> 4 balones
  • 2 cajas -> 8 balones
  • 3 cajas -> 12 balones
  • Las razones 4/1, 8/2, y 12/3 son iguales a 4 (la constante de proporcionalidad).
  • Se demuestra que 4 = 14, 8 = 24, y 12 = 3*4.
• Variación de la División: Se explica que la división también puede ser al contrario (1/4, 2/8, 3/12), resultando en otra constante de proporcionalidad (0.25). Se demuestra que 1 = 40.25, 2 = 80.25, y 3 = 12*0.25.

4. Teorema Fundamental de las Proporciones

• Concepto: Si a/b = c/d, entonces ad = bc. Esto se usa para verificar si dos razones forman una proporción.
• Ejemplo: Si 20/4 = 10/2, entonces 202 = 40 y 104 = 40. Como ambos resultados son iguales, se confirma que es una proporción.

5. Aplicaciones en Geometría

• Problema: Los lados de dos triángulos están en proporción de 1 a 2. Se busca encontrar las medidas de los lados del triángulo más grande.
• Solución:
  • Se establece la proporción 1/2 (triángulo pequeño/triángulo grande).
  • Para hallar un lado desconocido (x), se establece otra razón: 3/x (lado pequeño/lado grande).
  • Se resuelve la proporción 1/2 = 3/x usando el teorema fundamental (1x = 23 -> x = 6).
  • Se presenta un método alternativo: si 1 * 3 = 3, entonces 2 * 3 = 6.
• Segundo Ejemplo: Los lados de dos triángulos están en proporción de 2 a 3. Se busca encontrar las medidas de los lados del triángulo más grande.
  • Se establece la proporción 2/3.
  • Se establece otra razón: 4/x.
  • Se resuelve la proporción 2/3 = 4/x usando el teorema fundamental (2x = 43 -> x = 6).
  • Se presentan métodos alternativos:
    • Si 2 * 1.5 = 3, entonces 4 * 1.5 = 6.
    • Si 2 * 2 = 4, entonces 3 * 2 = 6.

6. Ejercicios Propuestos

• Ejercicio 1: Verificar si las siguientes parejas de razones forman o no una proporción:
  • 2/3 y 10/15
  • 15/35 y 6/14
  • 12/8 y 7/4
• Ejercicio 2: Completar las medidas faltantes de los lados de dos triángulos que están en proporción, utilizando los conceptos explicados.

7. Soluciones a los Ejercicios

• Ejercicio 1:
  • 2/3 = 10/15 (Sí, es una proporción)
  • 15/35 = 6/14 (Sí, es una proporción)
  • 12/8 ≠ 7/4 (No es una proporción)
• Ejercicio 2: Se proporcionan las soluciones para los lados faltantes de los triángulos, aplicando los conceptos de proporcionalidad.

Conclusión:

El video introduce los conceptos fundamentales de razones y proporciones, explicando cómo identificar magnitudes proporcionales, establecer razones, formar proporciones, y aplicar el teorema fundamental de las proporciones. Se presentan ejemplos prácticos y ejercicios para reforzar la comprensión de estos conceptos, sentando las bases para el estudio de la proporcionalidad directa, inversa y la regla de tres en videos posteriores.