Pertemuan 4 - Nilai Mutlak

Key Concepts

Nilai mutlak sebagai jarak, definisi nilai mutlak, persamaan nilai mutlak, pembuat nol nilai mutlak, interval nilai mutlak.

Konsep Nilai Mutlak Sebagai Jarak

• Definisi: Nilai mutlak suatu bilangan adalah jarak bilangan tersebut dari 0 pada garis bilangan.
• Simbol: Ditulis dengan garis lurus kiri dan kanan, contoh: |x|, |p|.
• Nilai: Selalu positif atau nol. Nilai mutlak dapat diartikan sebagai alat untuk mempositifkan bilangan.
  • |3| = 3 (jarak 3 dari 0 adalah 3 satuan)
  • |-4| = 4 (jarak -4 dari 0 adalah 4 satuan)
  • |-6| = 6 (jarak -6 dari 0 adalah 6 satuan)
  • |-2020| = 2020
  • |2019| = 2019
• Penyelesaian Persamaan:
  • |x| = 6, maka x = 6 atau x = -6 (bilangan yang berjarak 6 dari 0 adalah 6 dan -6).
  • |x - 2| = 4, maka x = -2 atau x = 6 (bilangan yang berjarak 4 dari 2 adalah -2 dan 6).
  • |x + 3| = 5, ubah menjadi |x - (-3)| = 5, maka x = -8 atau x = 2 (bilangan yang berjarak 5 dari -3 adalah -8 dan 2).
  • |6 - x| = 3, kalikan negatif menjadi |-6 + x| atau |x - 6| = 3, maka x = 9 atau x = 3 (bilangan yang berjarak 3 dari 6 adalah 3 dan 9).

Definisi Nilai Mutlak

• Definisi Formal:
  • |x| = x, jika x ≥ 0 (jika x positif atau 0, maka nilai mutlak x adalah x itu sendiri).
  • |x| = -x, jika x < 0 (jika x negatif, maka nilai mutlak x adalah negatif dari x).
• Contoh:
  • |7| = 7 (karena 7 positif).
  • |-7| = -(-7) = 7 (karena -7 negatif, dikalikan negatif).
  • |2x + 6| = 2x + 6, jika 2x + 6 ≥ 0.
  • |2x + 6| = -(2x + 6) = -2x - 6, jika 2x + 6 < 0.

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Hasil dari |13| - |-3|:
   • |13| = 13
   • |-3| = 3
   • 13 - 3 = 10
2. Hasil dari |-12| / |-18| * |-6|:
   • Sederhanakan |-12| / |-18| menjadi |2/3|
   • |2/3| * |-6| = (2/3) * 6 = 4
3. Untuk x = -3, nilai dari |6 - | |x| - 5 | | adalah:
   • |6 - | |-3| - 5 | | = |6 - | 3 - 5 | | = |6 - |-2| | = |6 - 2| = |4| = 4
4. Jika f(x) = |4x - 8|, maka f(-1) = ?
   • f(-1) = |4(-1) - 8| = |-4 - 8| = |-12| = 12
5. Nilai dari |-20 + 2x + x²| untuk x = -5 adalah:
   • |-20 + 2(-5) + (-5)²| = |-20 - 10 + 25| = |-5| = 5
6. Untuk x > 3, bentuk aljabar dari |3 - x| adalah:
   • Karena x > 3, maka 3 - x negatif.
   • |3 - x| = -(3 - x) = x - 3
7. Untuk x < 1/2, bentuk aljabar dari |3 - 6x| adalah:
   • Karena x < 1/2, maka 3 - 6x positif.
   • |3 - 6x| = 3 - 6x
8. Nilai dari |√2 - √5| adalah:
   • Karena √2 < √5, maka √2 - √5 negatif.
   • |√2 - √5| = -(√2 - √5) = √5 - √2
9. Tentukan nilai x dan y dari |x - y| + |2x - 6| = 0:
   • Karena nilai mutlak selalu positif atau nol, maka |x - y| = 0 dan |2x - 6| = 0.
   • x - y = 0 => x = y
   • 2x - 6 = 0 => x = 3
   • Karena x = y, maka y = 3
10. Tentukan nilai x yang memenuhi |x + 4| - 4 * |-3| = 3:
    • |x + 4| - 4 * 3 = 3
    • |x + 4| - 12 = 3
    • |x + 4| = 15
    • x + 4 = 15 atau x + 4 = -15
    • x = 11 atau x = -19
11. Tuliskan bentuk sederhana dari |3x - 6| - |x - 4| * |x + 1| untuk -2 < x < 4:
    • Ambil x = 3:
      • |3(3) - 6| = |3| (positif)
      • |3 - 4| = |-1| (negatif)
      • |3 + 1| = |4| (positif)
    • (3x - 6) - (-(x - 4)) * (x + 1) = (3x - 6) + (x - 4)(x + 1) = 3x - 6 + x² - 3x - 4 = x² - 10
12. Tentukan penyelesaian dari |x + 7|² - 3 * |x + 7| - 4 = 0:
    • Misalkan p = |x + 7|
    • p² - 3p - 4 = 0
    • (p - 4)(p + 1) = 0
    • p = 4 atau p = -1
    • |x + 7| = 4 atau |x + 7| = -1 (tidak memenuhi karena nilai mutlak tidak bisa negatif)
    • x + 7 = 4 atau x + 7 = -4
    • x = -3 atau x = -11
13. Tentukan penyelesaian dari |x - 7| - |x - 2| = 3:
    • Cari pembuat nol: x - 7 = 0 => x = 7; x - 2 = 0 => x = 2
    • Buat interval: x < 2, 2 ≤ x < 7, x ≥ 7
    • x < 2: Ambil x = 0: |0 - 7| - |0 - 2| = 7 - 2 = 5 ≠ 3 (tidak memenuhi)
    • 2 ≤ x < 7: Ambil x = 3: |3 - 7| - |3 - 2| = 4 - 1 = 3 (memenuhi)
      • -(x - 7) - (x - 2) = 3 => -x + 7 - x + 2 = 3 => -2x + 9 = 3 => -2x = -6 => x = 3
    • x ≥ 7: Ambil x = 8: |8 - 7| - |8 - 2| = 1 - 6 = -5 ≠ 3 (tidak memenuhi)
    • Penyelesaian: x = 3

Sintesis/Conclusion

Video ini memberikan pemahaman mendalam tentang konsep nilai mutlak, dimulai dari interpretasinya sebagai jarak hingga definisi formalnya. Dijelaskan pula cara menyelesaikan persamaan nilai mutlak dengan berbagai teknik, termasuk penggunaan konsep jarak, definisi nilai mutlak, dan pemfaktoran persamaan kuadrat. Contoh-contoh soal yang beragam membantu memperjelas penerapan konsep-konsep tersebut. Pemahaman tentang nilai mutlak ini penting sebagai dasar untuk mempelajari materi matematika yang lebih lanjut, seperti pertidaksamaan nilai mutlak.