Permutación con Repetición - Ejercicios Resueltos

Permutación con Repetición

Key Concepts: Permutación con repetición, elementos repetidos, ordenamientos, factorial, número total de elementos (n), repeticiones de cada elemento (a, b, c, etc.).

Definición y Fórmula

La permutación con repetición se utiliza cuando, en un total de n elementos, algunos se repiten. El primer elemento se repite a veces, el segundo b veces, el tercero c veces, y así sucesivamente. La suma de las repeticiones (a + b + c + ...) es igual a n.

La fórmula para calcular el número de ordenamientos (permutaciones) es:

Permutación (n; a, b, c, ...) = n! / (a! * b! * c! * ...)

Donde:

• n es el número total de elementos.
• a, b, c, ... son las veces que se repite cada elemento.

Características Clave

1. Importa el orden: Al ser una permutación, el orden de los elementos es importante.
2. Elementos repetidos: La permutación con repetición se aplica cuando hay elementos iguales o semejantes.
3. Participación total: Todos los elementos participan en los ordenamientos.

Ejercicio Número 15: Palabras con "agarrar"

Problema: ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra "agarrar"?

Análisis:

• La letra "a" se repite 3 veces.
• La letra "r" se repite 3 veces.
• La letra "g" se repite 1 vez.
• El número total de letras (n) es 7.

Solución:

Aplicando la fórmula de permutación con repetición:

Permutación (7; 3, 1, 3) = 7! / (3! * 1! * 3!) = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((3 * 2 * 1) * 1 * (3 * 2 * 1)) = 140

Respuesta: Se pueden formar 140 palabras diferentes con las letras de la palabra "agarrar".

Verificación de las condiciones: Se comprueba que al cambiar el orden de las letras se forman palabras diferentes (ej: "agarrar", "raraga", "rasgar"), que hay elementos repetidos ("a" y "r"), y que todas las letras participan en la formación de las palabras.

Importancia de Usar la Fórmula Correcta

En una permutación con elementos repetidos, no se puede utilizar la fórmula de permutación lineal o la fórmula clásica de permutación, ya que arrojan valores incorrectos.

Ejemplo: ¿Cuántos números de tres cifras se pueden generar utilizando las cifras 1, 2 y 2?

• Los ordenamientos posibles son: 122, 212, 221 (3 en total).
• La fórmula de permutación con repetición da el resultado correcto: 3.
• La fórmula de permutación lineal (n!) daría 3! = 6, un resultado incorrecto.

Explicación: La fórmula de permutación lineal asume que todos los elementos son diferentes, lo cual no es el caso cuando hay elementos repetidos. Al intercambiar los elementos repetidos, no se genera un ordenamiento diferente.

Problema Número 16: Lanzamiento de un Dado

Problema: Un dado es tirado 7 veces. ¿De cuántas maneras pueden ocurrir dos números dos, tres números tres, un número cuatro y un número cinco, considerando el orden de los tiros?

Análisis:

• El número 2 se repite 2 veces.
• El número 3 se repite 3 veces.
• El número 4 se repite 1 vez.
• El número 5 se repite 1 vez.
• El número total de tiros (n) es 7.

Solución:

Aplicando la fórmula de permutación con repetición:

Permutación (7; 2, 3, 1, 1) = 7! / (2! * 3! * 1! * 1!) = (7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1) / ((2 * 1) * (3 * 2 * 1) * 1 * 1) = 420

Respuesta: Los resultados pueden ocurrir de 420 maneras diferentes.

Verificación de las condiciones: Se comprueba que el orden de los tiros es importante, que hay elementos repetidos (2 y 3), y que todos los resultados de los siete tiros están considerados.

Conclusión

La permutación con repetición es una herramienta útil para calcular el número de ordenamientos posibles cuando hay elementos repetidos. Es crucial utilizar la fórmula correcta (n! / (a! * b! * c! * ...)) en lugar de las fórmulas de permutación lineal, que asumen que todos los elementos son diferentes. Los ejemplos de la formación de palabras y el lanzamiento de un dado ilustran cómo aplicar la fórmula y verificar las condiciones para asegurar que se está utilizando el método adecuado.