Materi Transformasi Radon - MK Matematika Radiologi

Transformasi Radon dalam Matematika Radiologi: Ringkasan Mendalam

Key Concepts:

• Transformasi Radon: Transformasi integral yang mengubah fungsi menjadi fungsi lain, khususnya digunakan untuk merekonstruksi gambar dari CT Scan.
• Fungsi f(x,y): Fungsi yang didefinisikan pada bidang (domain ruang) yang merepresentasikan objek yang di-scan.
• Fungsi RF(t, θ): Fungsi hasil transformasi Radon, didefinisikan pada ruang garis (space of lines), merepresentasikan integral garis dari fungsi f(x,y).
• Atenuasi Radiasi: Pengurangan intensitas radiasi sinar-X saat melewati suatu objek.
• Koordinat Kartesian: Sistem koordinat yang menggunakan sumbu X dan Y untuk menentukan posisi.
• Koordinat Polar: Sistem koordinat yang menggunakan jarak (r) dan sudut (θ) untuk menentukan posisi.
• CT Scan (Computed Tomography): Teknik pencitraan medis yang menggunakan sinar-X untuk menghasilkan gambar 3D dari dalam tubuh.

1. Definisi dan Konsep Dasar Transformasi Radon:

• Transformasi Radon adalah transformasi integral yang inversnya digunakan untuk merekonstruksi gambar pada CT Scan medis.
• Secara matematis, transformasi Radon mengubah fungsi f yang didefinisikan pada bidang menjadi fungsi RF yang didefinisikan pada ruang 2 dimensi (space of lines).
• Nilai RF pada garis tertentu sama dengan integral garis dari fungsi f di atas garis tersebut.
• Poin penting: Transformasi Radon mengubah fungsi menjadi fungsi (f -> RF).

2. Aplikasi Transformasi Radon dalam CT Scan:

• CT Scan (Computed Tomography) adalah teknik pencitraan yang terkomputasi untuk menghasilkan gambar slice (irisan) dari suatu objek.
• Dalam CT Scan, sumber sinar-X memancarkan radiasi yang kemudian ditangkap oleh detektor setelah melewati objek.
• Detektor mengukur atenuasi radiasi (pengurangan intensitas) sepanjang lintasannya.
• Sumber sinar-X dan detektor berputar mengelilingi objek untuk mengakuisisi data dari berbagai sudut.
• Analogi "Mengintip ke dalam Kotak":
  • Sebuah kotak (objek) dengan lubang di sekelilingnya.
  • Dengan mengintip dari lubang-lubang tersebut, kita dapat mendeteksi keberadaan objek di dalam kotak.
  • Setiap "intipan" memberikan informasi tentang integral garis dari densitas objek sepanjang garis pandang.
  • Dengan menggabungkan informasi dari berbagai sudut, kita dapat merekonstruksi perkiraan bentuk dan posisi objek di dalam kotak.
• Transformasi Koordinat: Transformasi Radon dalam CT Scan dapat dipandang sebagai pentransformasian dari koordinat kartesian ke koordinat polar. Sumber radiasi mengelilingi objek (360 derajat) untuk mendapatkan informasi dari berbagai sudut.

3. Representasi Matematis Transformasi Radon:

• Untuk fungsi f pada domain ruang (bidang), transformasi Radon dari f adalah RF(t, θ).
• RF(t, θ) didefinisikan sebagai integral dari f sepanjang garis yang ditentukan oleh t (jarak dari titik asal) dan θ (sudut).
• Rumus: RF(t, θ) = ∫ f(t cos θ - s sin θ, t sin θ + s cos θ) ds (integral dari minus tak hingga sampai tak hingga).
• Transformasi Radon memproyeksikan fungsi f(x, y) dalam bidang kartesian menjadi fungsi RF dalam bidang koordinat polar.
• Perubahan Fungsi: Transformasi Radon mengubah fungsi posisi f(x, y) menjadi fungsi waktu RF(t, θ).
• Ketergantungan pada waktu muncul karena detektor menangkap posisi radiasi pada waktu yang berbeda saat sumber radiasi berputar.

4. Ilustrasi dan Contoh Fungsi:

• Ilustrasi objek berwarna biru yang dikenai sinar-X dan ditangkap oleh sensor.
• Sensor dan sumber bergerak pada poros (0,0) dari objek observasi.
• Kerapatan sinar radiasi yang menembus objek diakumulasikan pada sensor.
• Akumulasi ini bergantung pada banyaknya foton yang masuk ke sensor, yang merupakan fungsi waktu.
• Contoh Fungsi:
  • f(x, y) = 1 - √(x² + y²) jika x² + y² ≤ 1
  • f(x, y) = 0 jika x² + y² > 1
  • Fungsi ini merepresentasikan kerucut dengan alas lingkaran berjari-jari 1.
  • Di luar lingkaran (x² + y² > 1), nilai fungsi adalah 0.
  • Di dalam lingkaran (x² + y² ≤ 1), nilai fungsi mengikuti persamaan 1 - √(x² + y²).
• Dengan memasukkan fungsi ini ke dalam program, kita dapat memvisualisasikan bentuk kerucut tersebut.
• Dengan menggunakan rumus transformasi Radon, kita dapat mengubah f(x, y) menjadi RF(t, θ), di mana x berubah menjadi t dan y berubah menjadi s.

5. Kesimpulan:

Transformasi Radon adalah alat matematis penting dalam radiologi, khususnya dalam rekonstruksi gambar CT Scan. Transformasi ini mengubah fungsi yang merepresentasikan objek menjadi fungsi lain yang merepresentasikan integral garis dari objek tersebut. Dengan mengakuisisi data dari berbagai sudut dan menerapkan transformasi Radon, kita dapat merekonstruksi gambar 3D dari dalam tubuh. Pemahaman konsep ini penting untuk memahami prinsip kerja CT Scan dan teknik pencitraan medis lainnya.