MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linier dan Aplikasinya dalam bisnis dan ekonomi #4b

Key Concepts

Parabola, Titik Fokus, Garis Direktris, Sumbu Simetri, Titik Ekstrim (Titik Puncak), Fungsi Non Linier, Diskriminan, Akar Nyata, Akar Imajiner, Grafik Fungsi Kuadrat, Curve Tracing Process, Metode Matematis.

Definisi dan Elemen Parabola

Parabola didefinisikan sebagai garis atau kurva yang titik-titiknya memiliki jarak yang sama terhadap titik fokus dan garis direktris. Titik fokus adalah titik di mana jarak dari sembarang titik pada parabola ke titik fokus adalah sama. Garis direktris adalah garis sumbu simetri terhadap titik fokus. Parabola memiliki satu sumbu simetri dan satu titik ekstrim (titik puncak). Sumbu simetri membelah dua sama besar kurva parabola. Titik ekstrim adalah titik potong antara sumbu simetri dan kurva parabola.

Orientasi Parabola

Sumbu simetri parabola dapat berupa garis vertikal atau horizontal.

• Sumbu Simetri Vertikal: Parabola terbuka ke atas atau ke bawah.
• Sumbu Simetri Horizontal: Parabola terbuka ke samping kanan atau ke samping kiri.

Persamaan Umum Parabola

Fungsi parabola secara umum: ax² + by² + cx + dy + e = 0. Parabola terjadi jika hanya salah satu dari a atau b bernilai nol, tetapi tidak keduanya.

• Sumbu Simetri Vertikal: y = ax² + bx + c (variabel x berpangkat dua).
• Sumbu Simetri Horizontal: x = ay² + by + c (variabel y berpangkat dua).

Arah Bukaan Parabola

Arah bukaan parabola ditentukan oleh koefisien variabel yang berpangkat dua (a):

• Sumbu Simetri Vertikal:
  • a > 0: Terbuka ke atas.
  • a < 0: Terbuka ke bawah.
• Sumbu Simetri Horizontal:
  • a > 0: Terbuka ke kanan.
  • a < 0: Terbuka ke kiri.

Titik Ekstrim Parabola

Titik ekstrim adalah titik koordinat dengan absis (x) merupakan nilai sumbu simetri dan ordinat (y) merupakan nilai ekstrim. Untuk fungsi kuadrat y = ax² + bx + c:

• Nilai Sumbu Simetri (x): x = -b / 2a
• Nilai Ekstrim (y): y = -D / 4a, di mana D = b² - 4ac (Diskriminan)
• Koordinat Titik Ekstrim: (-b / 2a, -D / 4a) atau (-b / 2a, -(b² - 4ac) / 4a)

Titik puncak adalah titik di mana arah grafik fungsi kuadrat kembali ke arah semula.

Titik Potong dengan Sumbu X

Titik potong parabola dengan sumbu-x tergantung pada nilai diskriminan (D):

• D > 0: Memotong sumbu x di dua titik (x₁, 0) dan (x₂, 0).
• D = 0: Menyinggung sumbu x di satu titik (x₁, 0).
• D < 0: Tidak memotong sumbu x.

Bentuk Dasar Parabola Berdasarkan Diskriminan

• D = 0: Grafik menyinggung sumbu x di satu titik.
  • a > 0: Terbuka ke atas, titik minimum di (x₁, 0).
  • a < 0: Terbuka ke bawah, titik maksimum di (x₁, 0).
• D > 0: Grafik memotong sumbu x di dua titik.
  • a > 0: Terbuka ke atas, memotong di (x₁, 0) dan (x₂, 0), memiliki titik minimum.
  • a < 0: Terbuka ke bawah, memotong di (x₁, 0) dan (x₂, 0), memiliki titik maksimum.
• D < 0: Grafik tidak memotong sumbu x.
  • a > 0: Terbuka ke atas, tidak memotong sumbu x, memiliki titik minimum.
  • a < 0: Terbuka ke bawah, tidak memotong sumbu x, memiliki titik maksimum.

Cara Menggambar Fungsi Kuadrat

Ada dua cara utama untuk menggambar fungsi kuadrat:

1. Curve Tracing Process (Menentukan Titik Kurva):

   • Buat tabel x dan y.
   • Pilih beberapa nilai x (variabel bebas).
   • Hitung nilai y yang sesuai dengan memasukkan nilai x ke dalam persamaan.
   • Plotkan pasangan titik (x, y) pada bidang kartesius.
   • Hubungkan titik-titik tersebut untuk membentuk grafik parabola.
   • Contoh: y = x² - 5x + 6. Masukkan x = -1, 0, 1, ..., 6, hitung y, lalu plotkan.

2. Metode Matematis (Menggunakan Ciri-Ciri Penting):

   • Tentukan titik potong grafik dengan sumbu y (x = 0) dan sumbu x (y = 0).
   • Tentukan sumbu simetri dan titik ekstrim (titik puncak).
   • Tambahkan beberapa titik lain sebagai bantuan jika diperlukan.
   • Contoh: y = x² - 5x + 6
     • Titik potong dengan sumbu y: x = 0, y = 6. Titik A (0, 6).
     • Titik potong dengan sumbu x: y = 0, D = (-5)² - 4 * 1 * 6 = 1 > 0 (dua titik potong).
       • Metode Faktorisasi: x² - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2), sehingga x₁ = 3 dan x₂ = 2.
       • Rumus Kuadrat: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a, menghasilkan x₁ = 3 dan x₂ = 2.
       • Titik B (3, 0) dan C (2, 0).
     • Sumbu Simetri: x = -b / 2a = 5 / 2.
     • Titik Puncak: (5/2, -1/4).
     • Plotkan titik-titik dan hubungkan untuk membentuk parabola.

Kesimpulan

Video ini memberikan penjelasan mendalam tentang parabola, mulai dari definisi dasar, elemen-elemen penting seperti titik fokus dan garis direktris, hingga cara menentukan orientasi dan menggambar grafik parabola. Penjelasan mencakup persamaan umum parabola, cara menghitung titik ekstrim, dan bagaimana nilai diskriminan mempengaruhi titik potong dengan sumbu x. Dua metode untuk menggambar grafik fungsi kuadrat, yaitu curve tracing process dan metode matematis, dijelaskan secara rinci dengan contoh. Materi selanjutnya akan membahas aplikasi fungsi kuadrat dalam bisnis dan ekonomi.