Los fractales en Secundaria (AC/AP) - Vídeos de matemáticas 3.º ESO / ONMAT 3

Key Concepts:

• Perímetro: Distancia alrededor de una figura de dos dimensiones.
• Área: Medida de la superficie que encierra una figura plana.
• Fractal: Figura geométrica formada por una estructura que se repite a distintas escalas.
• Copo de Nieve de Koch: Fractal construido añadiendo triángulos equiláteros a los lados de un triángulo equilátero inicial, repitiendo el proceso.
• Alfombra de Sierpinski: Fractal construido dividiendo un cuadrado en nueve cuadrados más pequeños, eliminando el cuadrado central, y repitiendo el proceso con los cuadrados restantes.

1. Definición de Perímetro y Área

• Perímetro: Deriva del griego "peri" (alrededor) y "metro" (medida). Es la longitud total del contorno de una figura bidimensional. Se ejemplifica con la longitud de una cerca necesaria para rodear una explanada. En el ejemplo del templo, una explanada rectangular de 100 metros de largo y 50 metros de ancho tiene un perímetro de 300 metros (100 + 50 + 100 + 50 = 300).
• Área: Proviene del latín "area," que designaba la explanada frente a un templo. Es la medida de la superficie encerrada por una figura plana, indicando cuánto espacio ocupa en dos dimensiones. El área de la explanada rectangular del templo se calcula multiplicando sus lados: largo por ancho.

2. Introducción a los Fractales

• Definición: Un fractal es una figura geométrica cuya estructura se repite a diferentes escalas. La palabra "fractal" proviene del latín "fractus," que significa quebrado o fracturado.
• Ejemplo: Copo de Nieve de Koch: Se construye comenzando con un triángulo equilátero y añadiendo otro triángulo equilátero en cada lado, repitiendo el proceso indefinidamente. La misma estructura (el triángulo equilátero) se repite en diferentes niveles.

3. Alfombra de Sierpinski: Construcción y Propiedades

• Construcción:
  1. Se comienza con un cuadrado de lado l.
  2. El perímetro inicial es 4l, y el área inicial es l².
  3. Cada lado se divide en tres partes iguales, creando 9 cuadrados más pequeños.
  4. Se elimina el cuadrado central.
  5. El perímetro aumenta: el nuevo perímetro es 4l + 4(l/3).
  6. El área disminuye: la nueva área es l² - (l/3)².
  7. Este proceso se repite con los 8 cuadrados restantes.
• Propiedades:
  • En cada iteración, el perímetro aumenta (se suman términos).
  • En cada iteración, el área disminuye (se restan términos).
  • Después de infinitas iteraciones, el perímetro tiende a infinito, mientras que el área tiende a cero.

4. Relación entre Perímetro, Área y Fractales

• La alfombra de Sierpinski ilustra cómo un fractal puede tener un perímetro infinito y un área prácticamente nula. Esto se debe a la naturaleza recursiva de su construcción, donde el perímetro aumenta en cada paso mientras el área disminuye.

5. Conclusión

• Los fractales desafían las nociones intuitivas de perímetro y área. A través del ejemplo de la alfombra de Sierpinski, se demuestra que una figura puede tener un perímetro infinitamente largo y un área que tiende a cero, resaltando la complejidad y las propiedades únicas de estas estructuras geométricas.