Ley de Ampere y Dos ejercicios

Ley de Ampère: Cálculo de Campos Magnéticos en Configuraciones Simétricas

Key Concepts:

• Ley de Ampère: Análogo a la Ley de Gauss, utilizada para calcular campos magnéticos en distribuciones de corriente con alta simetría.
• Lazo Amperiano: Lazo imaginario cerrado utilizado en la Ley de Ampère para calcular la integral de línea del campo magnético.
• Permeabilidad del Vacío (μ₀): Constante física que relaciona el campo magnético con la corriente eléctrica que lo produce.
• Corriente Encerrada (Ienc): La cantidad de corriente que pasa a través del área delimitada por el lazo amperiano.
• Densidad de Corriente (J): Medida de la cantidad de corriente que fluye por unidad de área.
• Simetría: Condición esencial para la aplicación efectiva de la Ley de Ampère.

1. Introducción a la Ley de Ampère

La Ley de Ampère es una herramienta fundamental en electromagnetismo que permite calcular campos magnéticos generados por distribuciones de corriente con alta simetría. Es análoga a la Ley de Gauss en electrostática, pero se aplica a campos magnéticos en lugar de campos eléctricos. La principal ventaja de la Ley de Ampère es que simplifica el cálculo de campos magnéticos en situaciones donde la Ley de Biot-Savart sería demasiado compleja.

2. Formulación Matemática de la Ley de Ampère

La Ley de Ampère establece que la integral de línea del campo magnético B alrededor de un lazo cerrado C es proporcional a la permeabilidad del vacío (μ₀) multiplicada por la corriente total encerrada (Ienc) por el lazo:

∮C B · dl = μ₀ * Ienc

Donde:

• ∮C representa la integral de línea a lo largo del lazo cerrado C.
• B es el vector de campo magnético.
• dl es un elemento infinitesimal de longitud a lo largo del lazo C.
• μ₀ es la permeabilidad del vacío (4π × 10⁻⁷ T·m/A).
• Ienc es la corriente total que atraviesa el área delimitada por el lazo C.

3. Aplicación de la Ley de Ampère: Alambre Recto Infinito con Corriente Constante

3.1. Configuración:

Se considera un alambre recto infinito que transporta una corriente constante I₀. Se busca determinar el campo magnético tanto dentro como fuera del alambre.

3.2. Proceso:

1. Elegir un Lazo Amperiano: Se elige un lazo amperiano circular de radio r concéntrico con el alambre.
2. Simetría: Debido a la simetría del problema, el campo magnético B es constante en magnitud a lo largo del lazo amperiano y tangente al mismo.
3. Cálculo de la Integral de Línea: La integral de línea se simplifica a B * 2πr, donde B es la magnitud del campo magnético y 2πr es la circunferencia del lazo.
4. Cálculo de la Corriente Encerrada:
   • Para r < R (dentro del alambre): Ienc = J * πr², donde J es la densidad de corriente (I₀ / πR²) y R es el radio del alambre. Por lo tanto, Ienc = I₀ * (r²/R²).
   • Para r ≥ R (fuera del alambre): Ienc = I₀ (toda la corriente está encerrada).
5. Aplicación de la Ley de Ampère:
   • Para r < R: B * 2πr = μ₀ * I₀ * (r²/R²) => B = (μ₀ * I₀ * r) / (2πR²)
   • Para r ≥ R: B * 2πr = μ₀ * I₀ => B = (μ₀ * I₀) / (2πr)

3.3. Resultados:

• Dentro del alambre (r < R): El campo magnético aumenta linealmente con la distancia r desde el centro del alambre.
• Fuera del alambre (r ≥ R): El campo magnético disminuye inversamente con la distancia r desde el centro del alambre.

3.4. Gráfico:

El gráfico del campo magnético en función de la distancia r muestra una línea recta desde r = 0 hasta r = R, y luego una curva hiperbólica para r > R. El punto de inflexión es en r = R, donde el campo magnético es B = (μ₀ * I₀) / (2πR).

4. Aplicación de la Ley de Ampère: Alambre Recto Infinito con Densidad de Corriente Variable

4.1. Configuración:

Se considera un alambre recto infinito de radio R con una densidad de corriente variable dada por J = a * r, donde a es una constante.

4.2. Proceso:

1. Elegir un Lazo Amperiano: Se elige un lazo amperiano circular de radio r concéntrico con el alambre.
2. Simetría: Debido a la simetría del problema, el campo magnético B es constante en magnitud a lo largo del lazo amperiano y tangente al mismo.
3. Cálculo de la Integral de Línea: La integral de línea se simplifica a B * 2πr, donde B es la magnitud del campo magnético y 2πr es la circunferencia del lazo.
4. Cálculo de la Corriente Encerrada:
   • Para r < R (dentro del alambre): Ienc = ∫ J dA = ∫ (a * r') (r' dr' dθ) desde 0 hasta r y 0 hasta 2π. Esto resulta en Ienc = (2πa * r³) / 3.
   • Para r ≥ R (fuera del alambre): Ienc = ∫ J dA = ∫ (a * r') (r' dr' dθ) desde 0 hasta R y 0 hasta 2π. Esto resulta en Ienc = (2πa * R³) / 3.
5. Aplicación de la Ley de Ampère:
   • Para r < R: B * 2πr = μ₀ * (2πa * r³) / 3 => B = (μ₀ * a * r²) / 3
   • Para r ≥ R: B * 2πr = μ₀ * (2πa * R³) / 3 => B = (μ₀ * a * R³) / (3r)

4.3. Resultados:

• Dentro del alambre (r < R): El campo magnético aumenta parabólicamente con la distancia r desde el centro del alambre.
• Fuera del alambre (r ≥ R): El campo magnético disminuye inversamente con la distancia r desde el centro del alambre.

4.4. Gráfico:

El gráfico del campo magnético en función de la distancia r muestra una parábola desde r = 0 hasta r = R, y luego una curva hiperbólica para r > R. El punto de inflexión es en r = R, donde el campo magnético es B = (μ₀ * a * R²) / 3.

5. Conclusión

La Ley de Ampère es una herramienta poderosa para calcular campos magnéticos en situaciones con alta simetría. La elección adecuada del lazo amperiano y la correcta determinación de la corriente encerrada son cruciales para obtener resultados precisos. La Ley de Ampère simplifica significativamente el cálculo de campos magnéticos en comparación con la Ley de Biot-Savart, especialmente en configuraciones simétricas como alambres rectos y solenoides.