El proceso de Gram-Schmidt

Key Concepts

Base ortogonal
Base ortonormal
Espacio vectorial generado
Proyección de un vector sobre un subespacio
Complemento ortogonal
Proceso de Gram-Schmidt

Construcción de una Base Ortonormal a partir de una Base Dada

El video explica cómo construir una base ortonormal a partir de una base dada de un subespacio vectorial. Se parte de un conjunto de vectores B1, B2, ..., BK que forman una base de un subespacio B. El objetivo es encontrar una base ortonormal U1, U2, ..., UK del mismo subespacio B.

Caso 1: Dimensión 1 (K=1)

Si el espacio vectorial es de dimensión 1, generado por un vector B1, la base es simplemente el vector B1.
Para ortonormalizar, se define U1 como B1 dividido por su norma: U1 = B1 / ||B1||.
Esto asegura que U1 tenga norma 1, formando una base ortonormal trivial.
Ejemplo: Si B1 = (3, 0), entonces ||B1|| = 3, y U1 = (1, 0).

Caso 2: Dimensión 2 (K=2)

Se tiene una base B1, B2 que genera el espacio vectorial.
Se define U1 como en el caso anterior: U1 = B1 / ||B1||.
El espacio generado por B1 es el mismo que el generado por U1.
Se busca un vector Y2 que sea ortogonal a U1 y que, junto con U1, genere el mismo espacio que B1 y B2.
B2 se puede descomponer como B2 = X + Y2, donde X está en el espacio generado por U1 e Y2 está en el complemento ortogonal de ese espacio.
Y2 se calcula como Y2 = B2 - X, donde X es la proyección de B2 sobre el espacio generado por U1.
La proyección de B2 sobre U1 es (B2 · U1) * U1.
Finalmente, se normaliza Y2 para obtener U2: U2 = Y2 / ||Y2||.
U1 y U2 forman una base ortonormal del espacio vectorial de dimensión 2.
Ejemplo: Si B1 = (1, 0) y B2 = (1, 1), entonces U1 = (1, 0). La proyección de B2 sobre U1 es (1, 0) · (1, 0) * (1, 0) = (1, 0). Entonces Y2 = (1, 1) - (1, 0) = (0, 1), y U2 = (0, 1).

Caso 3: Dimensión 3 (K=3)

Se tiene una base U1, U2, B3, donde U1 y U2 ya son ortonormales.
Se busca un vector Y3 que sea ortogonal a U1 y U2, y que, junto con U1 y U2, genere el mismo espacio que U1, U2 y B3.
B3 se puede descomponer como B3 = X3 + Y3, donde X3 está en el espacio generado por U1 y U2, e Y3 está en el complemento ortogonal de ese espacio.
Y3 se calcula como Y3 = B3 - X3, donde X3 es la proyección de B3 sobre el espacio generado por U1 y U2.
La proyección de B3 sobre el espacio generado por U1 y U2 es (B3 · U1) * U1 + (B3 · U2) * U2.
Finalmente, se normaliza Y3 para obtener U3: U3 = Y3 / ||Y3||.
U1, U2 y U3 forman una base ortonormal del espacio vectorial de dimensión 3.

Caso General: Dimensión K

El proceso se generaliza para cualquier dimensión K.
Se asume que se tienen vectores ortonormales U1, U2, ..., UK-1.
Se busca un vector YK que sea ortogonal a U1, U2, ..., UK-1, y que, junto con ellos, genere el mismo espacio que U1, U2, ..., UK-1 y BK.
BK se puede descomponer como BK = XK + YK, donde XK está en el espacio generado por U1, U2, ..., UK-1, e YK está en el complemento ortogonal de ese espacio.
YK se calcula como YK = BK - XK, donde XK es la proyección de BK sobre el espacio generado por U1, U2, ..., UK-1.
La proyección de BK sobre el espacio generado por U1, U2, ..., UK-1 es la suma de las proyecciones de BK sobre cada uno de los vectores U1, U2, ..., UK-1: Σ (BK · Ui) * Ui, donde i va de 1 a K-1.
Finalmente, se normaliza YK para obtener UK: UK = YK / ||YK||.
U1, U2, ..., UK forman una base ortonormal del espacio vectorial de dimensión K.

Proceso de Gram-Schmidt

El proceso descrito es conocido como el proceso de Gram-Schmidt. Este proceso permite construir una base ortonormal a partir de cualquier base de un espacio vectorial.

Conclusión

El video presenta una explicación detallada del proceso de Gram-Schmidt para construir bases ortonormales. Se ilustra el proceso con ejemplos en dimensiones 1, 2 y 3, y se generaliza para cualquier dimensión K. El proceso implica proyectar vectores sobre subespacios y normalizar los vectores resultantes para obtener una base ortonormal. El video promete ejemplos con números reales en el próximo video.