Ecuación general de la circunferencia Introducción

Key Concepts

Ecuación general de la circunferencia, ecuación canónica/ordinaria de la circunferencia, centro de la circunferencia (h, k), radio de la circunferencia (r), ecuaciones de segundo grado, coeficientes, términos semejantes, término independiente, despeje de variables, cuadrado de un binomio.

Reconociendo la Ecuación de una Circunferencia

• Ecuación de Segundo Grado con Dos Variables: La ecuación debe tener dos variables (generalmente x e y) elevadas al cuadrado como máximo exponente. No debe haber términos con x³ o x⁴.
• Coeficientes de x² e y²:
  • Deben ser iguales. Pueden ser ambos 1 (solitos) o cualquier otro número, pero el mismo para ambos términos. Por ejemplo, 5x² + 5y² es válido.
  • Deben ser positivos.
• No Debe Haber Términos Semejantes: Cada término (x², y², x, y, constante) debe aparecer solo una vez.
• Ejemplo de Ecuación NO válida: 5x² + 3y² no es una circunferencia porque los coeficientes de x² e y² son diferentes.

Formas de la Ecuación de la Circunferencia

• Ecuación Canónica/Ordinaria: (x - h)² + (y - k)² = r²
  • (h, k) es el centro de la circunferencia.
  • r es el radio.
• Ecuación General: Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0 (donde A y B son iguales)
  • Para que una ecuación de circunferencia esté en su forma general, debe cumplir:
    • x² e y² deben estar solitos (coeficiente 1).
    • La ecuación debe estar igualada a cero.
    • Debe estar ordenada: primero los términos al cuadrado (x², y²), luego los términos lineales (x, y), y finalmente el término independiente (F).

Determinando el Centro y Radio a partir de la Ecuación Canónica

• Centro (h, k): Se obtiene directamente de la ecuación canónica cambiando el signo de los números que acompañan a x e y dentro de los paréntesis.
  • Ejemplo: Si la ecuación es (x + 3)² + (y - 5)² = 9, el centro es (-3, 5).
• Radio (r): Es la raíz cuadrada del término independiente al otro lado de la igualdad (r²).
  • Ejemplo: Si la ecuación es (x + 3)² + (y - 5)² = 9, entonces r = √9 = 3.

Derivación de Fórmulas para el Centro y Radio a partir de la Ecuación General

1. Expansión de la Ecuación Canónica: Se expande la ecuación canónica (x - h)² + (y - k)² = r² para obtener una forma similar a la ecuación general.
2. Igualación de Coeficientes: Se comparan los coeficientes de la ecuación expandida con los de la ecuación general (Ax² + By² + Dx + Ey + F = 0) para derivar las siguientes relaciones:
   • D = -2h
   • E = -2k
   • F = h² + k² - r²
3. Despeje de h y k: Se despejan h y k de las ecuaciones D = -2h y E = -2k para obtener las coordenadas del centro en términos de D y E:
   • h = -D/2
   • k = -E/2
   • Por lo tanto, el centro (h, k) = (-D/2, -E/2)
4. Despeje de r: Se despeja r de la ecuación F = h² + k² - r² y se sustituyen h y k por -D/2 y -E/2 respectivamente. Después de simplificar y despejar, se obtiene la fórmula para el radio:
   • r = ½ * √(D² + E² - 4F)

Fórmulas Finales para el Centro y Radio (Ecuación General)

• Centro (h, k): (-D/2, -E/2)
• Radio (r): ½ * √(D² + E² - 4F)

Conclusión

El video explica cómo identificar la ecuación de una circunferencia, distinguir entre su forma canónica y general, y derivar las fórmulas para calcular el centro y el radio a partir de la ecuación general. Se enfatiza la importancia de comprender el origen de las fórmulas en lugar de simplemente memorizarlas. El video prepara al espectador para futuros ejercicios prácticos donde se aplicarán estas fórmulas para encontrar el centro y el radio de circunferencias dadas en su forma general.