Contoh Soal Cobb Douglas Production Function Part 2

Ringkasan Soal Produksi Fungsi Cobb-Douglas

Video ini melanjutkan pembahasan contoh soal fungsi produksi Cobb-Douglas, fokus pada soal nomor 3 yang membahas dua negara, Country A dan Country B, dengan asumsi tidak ada pertumbuhan populasi dan kemajuan teknologi, namun ada depresiasi modal.

1. Latar Belakang dan Asumsi

Fungsi Produksi: Fungsi produksi Cobb-Douglas yang digunakan adalah $Y = K^\alpha L^{1-\alpha}$.
Hasil Nomor 1: Dinyatakan bahwa fungsi produksi menunjukkan constant returns to scale karena penjumlahan eksponen ($\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$).
Hasil Nomor 2: Pendapatan per kapita (income per worker) ditemukan sebesar $y = k^{\frac{1}{3}}$, di mana $y$ adalah output per pekerja dan $k$ adalah modal per pekerja.
Asumsi Soal Nomor 3:
- Tidak ada pertumbuhan populasi ($n=0$).
- Tidak ada kemajuan teknologi ($g=0$).
- Tingkat depresiasi modal ($\delta$) adalah 10% atau 0,1 untuk kedua negara.
- Country A: Tingkat tabungan (saving rate) $s_A = 10%$ atau 0,1.
- Country B: Tingkat tabungan (saving rate) $s_B = 20%$ atau 0,2.

2. Metodologi dan Perhitungan

Tujuan soal nomor 3 adalah mencari income per worker dan consumption level per capita untuk kedua negara. Perhitungan dilakukan dengan menggunakan model pertumbuhan Solow, khususnya dalam mencari steady-state capital per worker ($k^*$).

Rumus Kunci:

Perubahan Modal per Pekerja: $\Delta k = s \cdot y - \delta \cdot k$
Dalam Steady State: $\Delta k = 0$, sehingga $s \cdot y = \delta \cdot k$
Substitusi Fungsi Produksi per Pekerja: $s \cdot k^{\frac{1}{3}} = \delta \cdot k$

Langkah-langkah Perhitungan:

Menentukan Steady-State Capital per Worker ($k^*$):
- Dari $s \cdot k^{\frac{1}{3}} = \delta \cdot k$, kita dapat mengatur ulang menjadi: $k^{\frac{1}{3}} / k = \delta / s$ $k^{\frac{1}{3} - 1} = \delta / s$ $k^{-\frac{2}{3}} = \delta / s$
- Untuk mendapatkan $k$, kita pangkatkan kedua sisi dengan $-\frac{3}{2}$: $k^* = (\delta / s)^{-\frac{3}{2}} = (s / \delta)^{\frac{3}{2}}$
Menghitung $k^*$ untuk Country A:
- $s_A = 0,1$
- $\delta = 0,1$
- $k_A^* = (0,1 / 0,1)^{\frac{3}{2}} = 1^{\frac{3}{2}} = 1$
Menghitung $k^*$ untuk Country B:
- $s_B = 0,2$
- $\delta = 0,1$
- $k_B^* = (0,2 / 0,1)^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2,828$ (Dalam video disebutkan $2^{3/2}$ yang kemudian dihitung sebagai 2, sedangkan perhitungan yang benar adalah $2\sqrt{2}$. Namun, untuk konsistensi dengan video, kita akan gunakan nilai yang didapat dari perhitungan video). Koreksi: Video menyebutkan $2^{3/2}$ dan kemudian menghitungnya sebagai 2, yang mana ini adalah kesalahan perhitungan. Perhitungan yang benar adalah $2^{3/2} = 2 \times \sqrt{2} \approx 2.828$. Namun, dalam video, hasil $k_B^$ tampaknya dihitung sebagai 2.*
Menghitung Income per Worker ($y^*$) untuk Country A:
- $y_A^* = (k_A^*)^{\frac{1}{3}} = 1^{\frac{1}{3}} = 1$
Menghitung Income per Worker ($y^*$) untuk Country B:
- $y_B^* = (k_B^)^{\frac{1}{3}} = (2)^{\frac{1}{3}}$ (Menggunakan $k_B^=2$ sesuai perhitungan video).
- $y_B^* \approx 1,26$ (Perhitungan video menghasilkan $1.41$ yang merupakan $2^{1/2}$, bukan $2^{1/3}$. Ini adalah kesalahan perhitungan lain dalam video. Jika $k_B^* = 2^{3/2}$, maka $y_B^* = (2^{3/2})^{1/3} = 2^{1/2} = \sqrt{2} \approx 1.414$. Jadi, video menggunakan $k_B^=2^{3/2}$ dan menghitung $y_B^$ dengan benar sebagai $1.41$).
Menghitung Consumption per Worker ($c^*$) untuk Country A:
- Rumus: $c = y - \delta \cdot k$ atau $c = (1-s)y$
- Menggunakan $c = (1-s)y$: $c_A^* = (1 - s_A) \cdot y_A^* = (1 - 0,1) \cdot 1 = 0,9 \cdot 1 = 0,9$
Menghitung Consumption per Worker ($c^*$) untuk Country B:
- Menggunakan $c = (1-s)y$: $c_B^* = (1 - s_B) \cdot y_B^* = (1 - 0,2) \cdot 1,41 = 0,8 \cdot 1,41 = 1,128 \approx 1,13$

3. Hasil dan Perbandingan

| Indikator | Country A | Country B | | :------------------------ | :-------- | :-------- | | Tingkat Tabungan ($s$) | 10% (0,1) | 20% (0,2) | | Tingkat Depresiasi ($\delta$) | 10% (0,1) | 10% (0,1) | | Steady-State Capital ($k^$) | 1 | $2^{3/2} \approx 2,828$ (Video menghitung $k_B^=2$ lalu $y_B^=1.41$) | | Income per Worker ($y^$) | 1 | $\approx 1,41$ | | Consumption per Worker ($c^*$) | 0,9 | $\approx 1,13$ |

4. Argumen dan Kesimpulan

Argumen Utama: Tingkat tabungan yang lebih tinggi mengarah pada tingkat modal per pekerja yang lebih tinggi di steady state, yang pada gilirannya menghasilkan pendapatan per pekerja dan konsumsi per pekerja yang lebih tinggi.
Bukti Pendukung: Country B, dengan tingkat tabungan 20%, memiliki steady-state capital per worker ($k_B^* \approx 2,828$) yang lebih tinggi dibandingkan Country A dengan tingkat tabungan 10% ($k_A^* = 1$). Hal ini tercermin pada pendapatan per pekerja ($y_B^* \approx 1,41$ vs $y_A^* = 1$) dan konsumsi per pekerja ($c_B^* \approx 1,13$ vs $c_A^* = 0,9$).
Kesimpulan: Country B lebih makmur daripada Country A karena kebijakan tabungannya yang lebih tinggi.

5. Kutipan Penting

"kalau misalnya dia ditambah dan hasilnya 1 berarti dia adalah konsolitator" (Merujuk pada constant returns to scale).
"country B karena savingnya lebih besar dari country a maka dia forwarker capitalnya juga lebih besar ya sehingga dia bisa mendapatkan income dan consumption yang lebih besar" (Kesimpulan utama dari analisis).

6. Istilah Teknis

Fungsi Produksi Cobb-Douglas: Sebuah model ekonomi yang menggambarkan hubungan antara input (modal dan tenaga kerja) dan output. Bentuk umumnya adalah $Y = A K^\alpha L^{1-\alpha}$.
Constant Returns to Scale (CRS): Kondisi di mana peningkatan proporsional pada semua input menghasilkan peningkatan proporsional yang sama pada output. Dalam fungsi Cobb-Douglas, ini terjadi ketika jumlah eksponen input adalah 1.
Depresiasi Modal ($\delta$): Penurunan nilai modal dari waktu ke waktu karena penggunaan atau keusangan.
Tingkat Tabungan ($s$): Proporsi pendapatan yang dialokasikan untuk investasi (tabungan).
Steady State: Kondisi dalam model pertumbuhan ekonomi di mana variabel-variabel kunci per kapita (seperti modal per pekerja dan output per pekerja) berhenti berubah.
Modal per Pekerja ($k$): Jumlah modal yang tersedia untuk setiap pekerja.
Output per Pekerja ($y$): Jumlah output yang dihasilkan oleh setiap pekerja.
Konsumsi per Pekerja ($c$): Jumlah barang dan jasa yang dikonsumsi oleh setiap pekerja.

7. Koneksi Logis Antar Bagian

Video ini membangun pemahaman secara bertahap. Dimulai dari konsep dasar constant returns to scale (Nomor 1), kemudian menentukan fungsi pendapatan per kapita (Nomor 2), dan akhirnya menerapkan konsep steady state dari model pertumbuhan Solow untuk menganalisis dampak perbedaan tingkat tabungan pada dua negara (Nomor 3). Perhitungan steady-state capital per worker menjadi jembatan logis untuk menentukan income per worker dan consumption per worker.

8. Data dan Temuan Penelitian

Perbandingan langsung antara Country A dan Country B menunjukkan bahwa peningkatan tingkat tabungan dari 10% menjadi 20% (dengan asumsi lain sama) dapat meningkatkan pendapatan per pekerja dari 1 menjadi sekitar 1,41 dan konsumsi per pekerja dari 0,9 menjadi sekitar 1,13.

9. Struktur Ringkasan

Ringkasan ini dibagi menjadi beberapa bagian untuk kejelasan: Latar Belakang dan Asumsi, Metodologi dan Perhitungan, Hasil dan Perbandingan, Argumen dan Kesimpulan, Kutipan Penting, Istilah Teknis, dan Koneksi Logis Antar Bagian.

10. Sintesis/Kesimpulan

Video ini secara efektif mendemonstrasikan bagaimana tingkat tabungan merupakan determinan krusial bagi kesejahteraan ekonomi jangka panjang suatu negara dalam kerangka model pertumbuhan Solow. Negara dengan tingkat tabungan yang lebih tinggi akan mencapai tingkat modal per pekerja, pendapatan per pekerja, dan konsumsi per pekerja yang lebih tinggi di steady state, meskipun tidak ada pertumbuhan populasi atau kemajuan teknologi. Penting untuk dicatat adanya beberapa kesalahan perhitungan dalam video, terutama terkait nilai eksponensial, namun logika dasar analisisnya tetap valid.

Key Concepts

Fungsi Produksi Cobb-Douglas
Constant Returns to Scale (CRS)
Depresiasi Modal ($\delta$)
Tingkat Tabungan ($s$)
Steady State
Modal per Pekerja ($k$)
Output per Pekerja ($y$)
Konsumsi per Pekerja ($c$)
Model Pertumbuhan Solow