Contoh Soal Cobb Douglas Production Function Part 1

Here's a detailed summary of the YouTube video transcript, maintaining the original language and technical precision:

Pembuktian Constant Returns to Scale pada Fungsi Produksi Cobb-Douglas

Video ini membahas contoh soal mengenai fungsi produksi Cobb-Douglas, khususnya pada fungsi produksi dengan bentuk $Y = K^{1/3} L^{2/3}$, di mana $K$ merepresentasikan modal (capital) dan $L$ merepresentasikan tenaga kerja (labor). Fokus utama adalah membuktikan apakah fungsi produksi ini menunjukkan constant returns to scale (CRS).

1. Membuktikan Constant Returns to Scale (CRS)

Konsep Dasar:

• Constant Returns to Scale (CRS): Kondisi di mana peningkatan proporsional pada semua faktor produksi (modal dan tenaga kerja) menghasilkan peningkatan proporsional yang sama pada kuantitas produksi.
• Increasing Returns to Scale (IRS): Peningkatan proporsional pada faktor produksi menghasilkan peningkatan kuantitas produksi yang lebih besar dari proporsi tersebut.
• Decreasing Returns to Scale (DRS): Peningkatan proporsional pada faktor produksi menghasilkan peningkatan kuantitas produksi yang lebih kecil dari proporsi tersebut.

Metodologi Pembuktian: Untuk membuktikan CRS, kita perlu mengalikan kedua faktor produksi ($K$ dan $L$) dengan suatu konstanta positif, misalnya $z$. Kemudian, kita amati bagaimana perubahan kuantitas produksi ($Y$) terhadap perubahan tersebut.

Langkah-langkah Pembuktian:

1. Asumsi Penambahan Faktor Produksi: Diasumsikan bahwa modal ($K$) dan tenaga kerja ($L$) masing-masing bertambah sebesar $z$. Jadi, faktor produksi baru menjadi $zK$ dan $zL$.
2. Substitusi ke dalam Fungsi Produksi: Fungsi produksi baru ($Y'$) dihitung dengan mensubstitusikan $zK$ untuk $K$ dan $zL$ untuk $L$ ke dalam fungsi awal: $Y' = (zK)^{1/3} (zL)^{2/3}$
3. Ekspansi dan Penyederhanaan: $Y' = z^{1/3} K^{1/3} \cdot z^{2/3} L^{2/3}$ $Y' = z^{(1/3 + 2/3)} K^{1/3} L^{2/3}$ $Y' = z^{3/3} K^{1/3} L^{2/3}$ $Y' = z^1 K^{1/3} L^{2/3}$ $Y' = z (K^{1/3} L^{2/3})$
4. Perbandingan dengan Fungsi Awal: Kita tahu bahwa fungsi produksi awal adalah $Y = K^{1/3} L^{2/3}$. Dengan demikian, kita dapat melihat bahwa: $Y' = zY$

Kesimpulan Pembuktian CRS: Karena penambahan faktor produksi sebesar $z$ menghasilkan peningkatan kuantitas produksi sebesar $z$ juga (yaitu, $Y' = zY$), maka fungsi produksi $Y = K^{1/3} L^{2/3}$ terbukti menunjukkan constant returns to scale.

Cara Cepat (Heuristik): Cara cepat untuk mengidentifikasi jenis returns to scale pada fungsi produksi Cobb-Douglas $Y = A K^\alpha L^\beta$ adalah dengan menjumlahkan eksponen $\alpha$ dan $\beta$:

• Jika $\alpha + \beta = 1$, maka itu adalah constant returns to scale.
• Jika $\alpha + \beta > 1$, maka itu adalah increasing returns to scale.
• Jika $\alpha + \beta < 1$, maka itu adalah decreasing returns to scale.

Dalam kasus ini, $\alpha = 1/3$ dan $\beta = 2/3$. Penjumlahan eksponennya adalah $1/3 + 2/3 = 1$. Oleh karena itu, fungsi ini secara otomatis dapat diidentifikasi sebagai constant returns to scale.

2. Fungsi Produksi Per Pekerja (Per Capita Production Function)

Bagian kedua dari video ini membahas cara menurunkan fungsi produksi per pekerja (atau per unit tenaga kerja). Ini sering dilambangkan dengan $y$ (huruf kecil), di mana $y = Y/L$.

Langkah-langkah Penurunan:

1. Definisi Fungsi Produksi Per Pekerja: $y = Y/L$
2. Substitusi Fungsi Produksi Awal: Ganti $Y$ dengan fungsi produksi Cobb-Douglas yang diberikan: $y = (K^{1/3} L^{2/3}) / L$
3. Penyederhanaan: $y = K^{1/3} L^{2/3} L^{-1}$ Untuk menyederhanakan pangkat $L$, kita samakan penyebutnya menjadi $3/3$ agar mudah dikurangi: $y = K^{1/3} L^{2/3} L^{-3/3}$ $y = K^{1/3} L^{(2/3 - 3/3)}$ $y = K^{1/3} L^{-1/3}$
4. Penulisan Ulang dalam Bentuk Per Modal Per Pekerja: Fungsi ini dapat ditulis ulang dengan memisahkan modal per pekerja ($k = K/L$). $y = (K/L)^{1/3}$ $y = k^{1/3}$

Kesimpulan Fungsi Produksi Per Pekerja: Fungsi produksi per pekerja untuk fungsi $Y = K^{1/3} L^{2/3}$ adalah $y = k^{1/3}$, di mana $y$ adalah output per pekerja dan $k$ adalah modal per pekerja.

Catatan: Pembahasan video terhenti di sini, dengan janji untuk melanjutkan soal berikutnya di video selanjutnya karena jawabannya yang lebih panjang.

Key Concepts

• Fungsi Produksi Cobb-Douglas: Sebuah model matematis yang menggambarkan hubungan antara input produksi (modal dan tenaga kerja) dan output produksi.
• Constant Returns to Scale (CRS): Skala pengembalian konstan, di mana peningkatan input secara proporsional menghasilkan peningkatan output yang sama proporsionalnya.
• Increasing Returns to Scale (IRS): Skala pengembalian meningkat, di mana peningkatan input secara proporsional menghasilkan peningkatan output yang lebih besar proporsionalnya.
• Decreasing Returns to Scale (DRS): Skala pengembalian menurun, di mana peningkatan input secara proporsional menghasilkan peningkatan output yang lebih kecil proporsionalnya.
• Fungsi Produksi Per Pekerja (Per Capita Production Function): Output yang dihasilkan per unit tenaga kerja.
• Modal Per Pekerja (Capital Per Worker): Jumlah modal yang tersedia per unit tenaga kerja.