28-02-2025 A | General Studies | ESE

क्रिस्टलोग्राफी: लैटिस, क्रिस्टल, यूनिट सेल और मिलर इंडिसेस

Key Concepts:

• लैटिस (Lattice): त्रिविमीय (three-dimensional) स्थान में बिंदुओं की आवधिक (periodic) व्यवस्था।
• क्रिस्टल (Crystal): त्रिविमीय स्थान में परमाणुओं (atoms) या परमाणुओं के समूह (group of atoms) की आवधिक व्यवस्था।
• मोटिफ/बेसिस (Motif/Basis): वह परमाणु या परमाणुओं का समूह जो प्रत्येक लैटिस बिंदु से जुड़ा होता है।
• लैटिस ट्रांसलेशन (Lattice Translation): एक लैटिस बिंदु से दूसरे लैटिस बिंदु तक कोई भी वेक्टर।
• यूनिट सेल (Unit Cell): अंतरिक्ष का वह सबसे छोटा क्षेत्र जिसे लैटिस ट्रांसलेशन के माध्यम से दोहराकर पूरे लैटिस को उत्पन्न किया जा सकता है।
• प्रिमिटिव यूनिट सेल (Primitive Unit Cell): वह यूनिट सेल जिसमें लैटिस बिंदु केवल कोनों पर होते हैं।
• नॉन-प्रिमिटिव यूनिट सेल (Non-Primitive Unit Cell): वह यूनिट सेल जिसमें लैटिस बिंदु कोनों के साथ-साथ अन्य स्थानों पर भी होते हैं।
• क्रिस्टल कोऑर्डिनेट सिस्टम (Crystal Coordinate System): यूनिट सेल के एक कोने को मूल (origin) के रूप में चुनना और यूनिट सेल के किनारों के साथ वेक्टर को आधार वेक्टर (basis vectors) के रूप में परिभाषित करना।
• लैटिस पैरामीटर (Lattice Parameter): यूनिट सेल के आकार और आकार को परिभाषित करने वाले छह पैरामीटर: a, b, c (किनारों की लंबाई) और α, β, γ (अंतर-अक्षीय कोण)।
• क्रिस्टल सिस्टम (Crystal System): लैटिस पैरामीटर के बीच संबंधों के आधार पर यूनिट सेल का वर्गीकरण (कुल 7 क्रिस्टल सिस्टम)।
• स्पेस लैटिस (Space Lattice): अंतरिक्ष में बिंदुओं की व्यवस्था (कुल 14 ब्रेविस लैटिस)।
• कोऑर्डिनेशन नंबर (Coordination Number): किसी भी माने गए परमाणु के संबंध में निकटतम और समान दूरी वाले परमाणुओं की संख्या।
• एटॉमिक पैकिंग फैक्टर (Atomic Packing Factor - APF): यूनिट सेल में परमाणुओं का आयतन (volume) और यूनिट सेल के कुल आयतन का अनुपात।
• मिलर इंडिसेस (Miller Indices): क्रिस्टलोग्राफिक दिशाओं और विमानों को दर्शाने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक प्रणाली।

1. लैटिस और क्रिस्टल के बीच अंतर:

• लैटिस एक ज्यामितीय अवधारणा (geometric concept) है, जो केवल ज्यामितीय गुणों (geometric properties) को प्रदर्शित करती है।
• क्रिस्टल एक भौतिक वस्तु (physical object) है, जो भौतिक गुणों (physical properties) जैसे द्रव्यमान (mass), घनत्व (density), विद्युत चालकता (electrical conductivity) को प्रदर्शित करती है।
• क्रिस्टल = लैटिस + मोटिफ (या बेसिस)
• मोटिफ बताता है कि क्या दोहराना है (What to repeat), जबकि लैटिस बताता है कि कैसे दोहराना है (How to repeat)।

2. यूनिट सेल के प्रकार और गुण:

• यूनिट सेल एक अद्वितीय अवधारणा नहीं है (Unit cell is not a unique concept); एक ही लैटिस के लिए अलग-अलग यूनिट सेल हो सकती हैं। इसे यूनिट सेल की गैर-विशिष्टता (Non-uniqueness of unit cell) कहा जाता है।
• प्रिमिटिव यूनिट सेल में लैटिस बिंदु केवल कोनों पर होते हैं।
• नॉन-प्रिमिटिव यूनिट सेल में लैटिस बिंदु कोनों के साथ-साथ अन्य स्थानों पर भी होते हैं।

3. क्रिस्टल कोऑर्डिनेट सिस्टम और लैटिस पैरामीटर:

• क्रिस्टल कोऑर्डिनेट सिस्टम को परिभाषित करने के लिए, यूनिट सेल के एक कोने को मूल (origin) के रूप में चुना जाता है।
• कोने से यूनिट सेल के किनारों के साथ वेक्टर आधार वेक्टर (basis vectors) बनाते हैं।
• लैटिस पैरामीटर (a, b, c, α, β, γ) यूनिट सेल को चिह्नित करने के लिए आवश्यक हैं।

4. सात क्रिस्टल सिस्टम:

सात क्रिस्टल सिस्टम लैटिस पैरामीटर के बीच संबंधों पर आधारित हैं:

| क्रिस्टल सिस्टम (Crystal System) | एजेस (Edges) | एंगल्स (Angles) | | :----------------------------- | :----------------------- | :--------------------------------------------- | | क्यूबिक (Cubic) | a = b = c | α = β = γ = 90° | | टेट्रागोनल (Tetragonal) | a = b ≠ c | α = β = γ = 90° | | ऑर्थोरोम्बिक (Orthorhombic) | a ≠ b ≠ c | α = β = γ = 90° | | हेक्सागोनल (Hexagonal) | a = b ≠ c | α = β = 90°, γ = 120° | | रोम्बोहेड्रल (Rhombohedral) | a = b = c | α = β = γ ≠ 90° | | मोनोक्लिनिक (Monoclinic) | a ≠ b ≠ c | α = γ = 90°, β ≠ 90° | | ट्राईक्लिनिक (Triclinic) | a ≠ b ≠ c | α ≠ β ≠ γ ≠ 90° |

• ट्राईक्लिनिक क्रिस्टल सिस्टम को दर्शाने के लिए सभी छह पैरामीटर की आवश्यकता होती है।
• ट्राईक्लिनिक क्रिस्टल सिस्टम सबसे असममित (asymmetric) है, जबकि क्यूबिक सबसे सममित (symmetric) है।

5. क्यूबिक क्रिस्टल सिस्टम का विस्तृत अध्ययन:

• परमाणुओं को कठोर और गोलाकार (hard and spherical) माना जाता है।

  • सिंपल क्यूबिक (Simple Cubic - SC):

    • परमाणु केवल क्यूब के कोनों पर स्थित होते हैं।
    • उदाहरण: मैंगनीज (Mn), पोलोनियम (Po)।
    • कोऑर्डिनेशन नंबर: 6
    • इफेक्टिव नंबर ऑफ एटम्स पर यूनिट सेल: 1
    • एटॉमिक रेडियस और लैटिस पैरामीटर संबंध: r = a/2
    • एटॉमिक पैकिंग फैक्टर: 0.52 या 52%

  • बॉडी सेंटर्ड क्यूबिक (Body-Centered Cubic - BCC):

    • कोनों के साथ-साथ क्यूब के केंद्र में एक परमाणु स्थित होता है।
    • उदाहरण: अल्फा आयरन (α-Fe), क्रोमियम (Cr), टंगस्टन (W)।
    • कोऑर्डिनेशन नंबर: 8
    • इफेक्टिव नंबर ऑफ एटम्स पर यूनिट सेल: 2
    • एटॉमिक रेडियस और लैटिस पैरामीटर संबंध: r = (√3/4)a
    • एटॉमिक पैकिंग फैक्टर: 0.68 या 68%

  • फेस सेंटर्ड क्यूबिक (Face-Centered Cubic - FCC):

    • कोनों के साथ-साथ प्रत्येक फलक (face) के केंद्र में एक परमाणु स्थित होता है।
    • उदाहरण: कॉपर (Cu), एल्यूमीनियम (Al), गोल्ड (Au), सिल्वर (Ag)।
    • कोऑर्डिनेशन नंबर: 12
    • इफेक्टिव नंबर ऑफ एटम्स पर यूनिट सेल: 4
    • एटॉमिक रेडियस और लैटिस पैरामीटर संबंध: r = (√2/4)a
    • एटॉमिक पैकिंग फैक्टर: 0.74 या 74%
    • वॉल्यूम ऑफ FCC यूनिट सेल: 16√2 r³

  • डायमंड क्यूबिक (Diamond Cubic - DC):

    • क्यूब के कोनों पर परमाणु, प्रत्येक फलक के केंद्र में और क्यूब के अंदर चार परमाणु टेट्राहेड्रल स्थिति में।
    • उदाहरण: डायमंड (C), सिलिकॉन (Si), जर्मेनियम (Ge)।
    • कोऑर्डिनेशन नंबर: 4
    • इफेक्टिव नंबर ऑफ एटम्स पर यूनिट सेल: 8
    • एटॉमिक रेडियस और लैटिस पैरामीटर संबंध: r = (√3/8)a
    • एटॉमिक पैकिंग फैक्टर: 0.34 या 34%
    • कम पैकिंग दक्षता बंधन की दिशात्मक प्रकृति (directional nature) के कारण होती है।

  • हेक्सागोनल क्लोज्ड पैक (Hexagonal Closed Packed - HCP):

    • a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
    • उदाहरण: मैग्नीशियम (Mg), जिंक (Zn), कैडमियम (Cd), कोबाल्ट (Co)।
    • कोऑर्डिनेशन नंबर: 12
    • इफेक्टिव नंबर ऑफ एटम्स पर यूनिट सेल: 6
    • c/a अनुपात: 1.63
    • एटॉमिक पैकिंग फैक्टर: 0.74 या 74% (FCC के समान)

6. डेंसिटी कैलकुलेशन:

• सैद्धांतिक घनत्व (Theoretical density) की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
  • ρ = (n * A) / (Na * Vc)
    • n = यूनिट सेल में परमाणुओं की प्रभावी संख्या
    • A = धातु का परमाणु भार
    • Na = अवोगाद्रो संख्या (6.023 x 10^23 परमाणु/मोल)
    • Vc = यूनिट सेल का आयतन

7. क्रिस्टलोग्राफिक दिशाओं के लिए मिलर इंडिसेस:

• क्रिस्टलोग्राफिक दिशा एक वेक्टर है जिसे दो बिंदुओं के बीच निर्देशित रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है।
• मिलर इंडिसेस दिशाओं को संख्यात्मक रूप से दर्शाने का एक तरीका है।
• मिलर इंडिसेस की गणना के लिए चरण:
  1. दी गई रेखा पर एक बिंदु को मूल (origin) के रूप में चुनें।
  2. लैटिस पैरामीटर के संदर्भ में रेखा पर किसी अन्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करें।
  3. a, b, c को छोड़ दें और केवल a, b, c के गुणकों (multiples) पर विचार करें।
  4. यदि आवश्यक हो तो उपरोक्त गुणकों को पूर्णांकों (integers) के सबसे छोटे सेट में बदलें और उन्हें बिना अल्पविराम (comma) के वर्ग कोष्ठक (square brackets) में रखें।
• सभी समानांतर दिशाओं (parallel directions) में समान मिलर इंडिसेस होते हैं।