04 Aproximación de la binomial a la normal

Resumen Detallado de la Aproximación de la Distribución Binomial a la Normal

Key Concepts:

Distribución Binomial
Distribución Normal (Campana de Gauss)
Aproximación de la Binomial a la Normal
Media (μ)
Desviación Típica (σ)
Tipificación
Corrección de Continuidad
Número de experimentos (n)
Probabilidad de éxito (p)
Probabilidad de fracaso (q)

Introducción

El video explica cómo aproximar una distribución binomial a una distribución normal, una técnica útil para simplificar cálculos en problemas binomiales con un gran número de experimentos. Se asume conocimiento previo sobre la distribución normal.

Ejemplo Introductorio: Jugador de Dardos

Se presenta un ejemplo de un jugador de dardos con un 60% de aciertos al lanzar al centro de la diana. Si realiza 100 lanzamientos, se convierte en un problema de distribución binomial con n = 100 y p = 0.6. Se calculan las probabilidades de acertar 100, 75, 60 y 20 lanzamientos utilizando la fórmula binomial estándar:

P(X = k) = (n sobre k) * p^k * q^(n-k)

Donde:

n es el número de ensayos
k es el número de éxitos
p es la probabilidad de éxito en un solo ensayo
q es la probabilidad de fracaso en un solo ensayo (q = 1 - p)

Se observa que la probabilidad de acertar 60 lanzamientos es mayor que la de acertar 100, 75 o 20.

Representación Gráfica y la Campana de Gauss

Al representar gráficamente las probabilidades de acertar diferentes números de lanzamientos (de 0 a 100), se obtiene una forma similar a la campana de Gauss, característica de la distribución normal. Se destaca que la distribución binomial tiene valores discretos (solo se pueden acertar números enteros de lanzamientos), mientras que la distribución normal es continua.

Aproximación a la Distribución Normal: Media y Desviación Típica

Se explica cómo una distribución binomial (n, p) puede aproximarse a una distribución normal con:

Media (μ): μ = n * p
Desviación Típica (σ): σ = √(n * p * q)

En el ejemplo del jugador de dardos:

μ = 100 * 0.6 = 60
σ = √(100 * 0.6 * 0.4) = √24 ≈ 4.9

Se enfatiza que el ajuste no es perfecto debido a la naturaleza discreta de la distribución binomial y la continua de la normal.

Ejemplo: Industria Agrícola de Naranjas

Se presenta otro ejemplo de una industria agrícola que etiqueta una de cada cuatro naranjas. Si se compra un lote de 200 naranjas, se tiene una distribución binomial con n = 200 y p = 0.25.

μ = 200 * 0.25 = 50
σ = √(200 * 0.25 * 0.75) = √37.5 ≈ 6.12

Se muestra cómo la distribución binomial se asemeja a una distribución normal con media 50 y desviación típica 6.12.

Tipificación y Uso de Tablas

Se menciona que, para resolver problemas, la distribución normal resultante se puede tipificar para obtener una distribución normal estándar (media 0, desviación típica 1). Esto permite utilizar tablas de distribución normal estándar para encontrar probabilidades.

Requisitos para la Aproximación

Para que la aproximación de la binomial a la normal sea válida, se deben cumplir dos condiciones:

n * p ≥ 5
n * q ≥ 5

Estos criterios aseguran que el número de experimentos sea suficientemente grande para que la distribución binomial se asemeje a una normal.

Corrección de Continuidad

Se introduce el concepto de corrección de continuidad. Debido a la diferencia entre la naturaleza discreta de la distribución binomial y la continua de la distribución normal, se debe ajustar los intervalos sumando o restando 0.5. Esto mejora la precisión de la aproximación. Se explica que se extenderá el intervalo 0.5 por debajo o por arriba.

Conclusión

El video resume cómo aproximar una distribución binomial a una distribución normal, calculando la media y la desviación típica de la distribución normal equivalente. Se destacan los requisitos para que la aproximación sea válida y se introduce la corrección de continuidad. El siguiente video mostrará ejemplos prácticos.